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Calcul propositionnel - Calcul des prédicats > Logique des propositions

Présentation

CALCUL PROPOSITIONNEL

Logique des propositions inanalysées, reliées par des connecteurs propositionnels (non ; et ; ou ; si..., alors...), qui sont des foncteurs de vérité => la valeur de vérité du composé est directement et mécaniquement fonction (d'après les définitions de la négation, de la conjonction, de la disjonction et de l'implication) des valeurs de vérité des propositions constituantes. Ce qui fait l'objet d'un calcul propositionnel, ce ne sont donc pas les propositions mais leurs valeurs de vérité (en général, deux valeurs : le vrai et le faux). C'est une logique fondamentale présupposée par tous les autres systèmes formels. Ses formules valides constituent des schémas d'inférences valides ; et elle permet l'étude de la déduction. Elle présente les propriétés de non-contradiction, de décidabilité et de complétude.

Historiquement, les stoïciens sont à l'origine de l'étude des lois qui régissent les rapports des propositions entre elles. Ces lois étaient connues des logiciens du Moyen Âge, mais c'est à la fin du XIXe siècle que leur étude fut reprise. G. Frege a, le premier, en 1879, axiomatisé la logique des fonctions de vérité ; en 1910, Whitehead et Russell y travaillèrent à leur tour et, en 1929, Lukasiewicz ; on compte, depuis lors, une vingtaine de systèmes. Parmi les logiciens qui contribuèrent à ce renouveau : Boole, Peano, C. S. Peirce, Schröder, De Morgan, Wittgenstein, Lewis, Post.



CALCUL DES PRÉDICATS 


Dans la logique aristotélicienne, la distinction du sujet et du prédicat est à la fois d'ordre linguistique (grammatical), d'ordre ontologique (la substance et ce qu'on peut dire d'elle) et d'ordre logique. Le prédicat est affirmé d'un sujet ; il est dit lui appartenir : « La blancheur appartient à Callias », ou « Callias est blanc ».

La logique moderne substitue la notion générale de fonction à celle de prédicat. La fonction propositionnelle diffère du prédicat en ce qu'elle contient à la fois la propriété — le prédicat au sens premier — affirmée du sujet et la copule qui effectue cette attribution. « Je crois, dit Frege, que le remplacement des concepts de sujet et de prédicat par ceux d'argument et de fonction se maintiendra dans l'avenir ».

L'expression « calcul des prédicats » est demeurée pour désigner la logique des propositions analysées, qui fait suite au calcul des propositions inanalysées, et qui comporte l'introduction des fonctions propositionnelles (être bleu), des variables individuelles, de la quantification, l'identité, l'appartenance. Les règles de ce « calcul des prédicats » sont celles du calcul propositionnel, avec quelques règles supplémentaires. Sa première formulation se trouve chez B. Russell et A. N. Whitehead dans Principia Mathematica (1910-1915.